Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


gondolkodni öröm

 

Tétel

Minden alulról és felülről is korlátos, egymástól különböző, végtelen sok számból álló divergens sorozatnak, van konvergens részsorozata.

 Bizonyítás

A síkban, kijelölünk egy pontot, ez a pont a felső korlátot jelöli.

A pontra egy egyenest illesztünk.

 

A kijelölt pont alatt kijelölünk egy második pontot ez az alsó korlátot jelöli.

 

Erre a pontra is illesztünk egy egyenest, amelyik párhuzamos a felette lévő egyenessel. (párhuzamossági axióma)

A két egyenes közötti sávban a divergens sorozat elemeinek pontokat feleltethetünk meg. A pontoknak az alsó korlátot tartalmazó egyenestől mért távolságaik az elemek értékeinek felelnek meg. Bejelöljük a sorozat első elemét, mellette a következőt, és így tovább a végtelenségig. 

 

 

x felső korlát                                              ->

 

    x

 

             x

 

                                                       x

 

_________________....___________x__->

 

x________________....______________->

 

____x____________....______________->

 

x alsó korlát                                               ->

 

Az alsó egyeneshez legközelebbi pontra egyenest illesztünk, amelyik párhuzamos a legalsó egyenessel.  

Ehhez az egyeshez az egyenes fölötti sávban ismét lesz egy legközelebbi pont, amire ismét párhuzamos egyenest illesztünk, ami fölött ismét lesz legközelebbi pont, és így tovább a végtelenségig.

  

A pontokat amelyekre  párhuzamosakat illesztettünk, alulról fölfelé haladva, egy törött vonallal összeköthetjük. A pontok szigorúan növekvő sorozatot alkotnak. Végül is, a divergens sorozatnak egy végtelen sok elemből álló részhalmazát, a törött vonal mentén szigorúan növekvő sorozatba rendeztük.

 

Ezért 

Minden alulról és felülről is korlátos, egymástól különböző, végtelen sok számból álló divergens sorozatnak, van konvergens részsorozata.

 

Tanulság

Végül is, összeszedhetjük magunkat!

 

gomb.jpg