Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Szabályos testek

Tétel:

Csak ötféle szabályos test valósítható meg:

 

n

m

c

e

l

Szabályos testek

a lap

oldalainak

a száma

a csúcsba

összefutó

élek száma

a csúcsok

száma

az élek

száma

a lapok
száma

Tetraéder

s1.jpg

Tűz

n=3

m=3

c=4

e=6

l=4

Hexaéder

s2.jpg

Föld

n=4 m=3 c=8 e=12

l=6

Oktaéder

s3.jpg

Levegő

n=3 m=4 c=6 e=12 l=8

Dodekaéder

s4.jpg

Kozmosz

n=5 m=3 c=20 e=30 l=12

Ikozaéder

s5.jpg

Víz

n=3 m=5 c=12 e=30 l=20

Euler tétele:

A lapok számából (l) kivonunk 1-et

és a csúcsok számából (c) is kivonunk 1-et,

és a két kivonás eredményét összeadjuk,

akkor megkapjuk az élek (e) számát:

(l-1)+(c-1)=e ami felírható így is l+c=e+2

 

Euler tételének bizonyítása:

Képzeljünk el egy bolygót, amelyet falak hálóznak be, és a falak találkozási pontjaiban, őrtornyokban őrök vannak.

Meg akarunk győződni az őrtornyokat összekötő falak számáról:

Az egyik falakkal körülvett medencét feltöltjük vízzel és ezzel a vízzel el akarjuk árasztani az egész bolygót.

A medence falai gátak és a gátakon körbejárható a vizes medence.

Az egyik oldalfalát a medencének felrobbantjuk és így víz áraszt el egy másik medencét. Az így keletkezett nagyobb medence a gátakon át szintén körbejárható. Csak olyan vizes medencét járhatunk körbe, amelyet száraz medencék vesznek körül. Az utolsó robbantás után, amikor már mindegyik medence vizes, a gátakon való körbejárás már nem lehetséges, azaz mindegyik őrtoronyhoz, csak egyetlen út vezet.

Minden robbantással újabb medencét árasztunk el vízzel. Az utolsó robbantás után megállapíthatjuk, hogy a felrobbantott falak száma az eredeti medencék (l) számánál 1-el kevesebb (l-1), hiszen az első medencét mi töltöttük fel vízzel, nem robbantással árasztottuk el.

Az őrparancsnok az őrtornyából megfújja a sípját, mire az őrök az őrtornyukból a parancsnok irányába a gátra lépnek. Megállapíthatjuk, hogy mindegyik gáton egy őr áll. Mivel az őrparancsnok a toronyban maradt, ezért a tornyok (c) számából kivonva 1-et (c-1) megkapjuk a toronyból a gátakra lépett őrök számát, ami megegyezik az épen maradt falak számával.

A felrobbantott falak számának (l-1) meg az épen maradt falak számának  (c-1)  az összege egyenlő az eredeti falak számával (e).

 Azaz (l-1)+(c-1)=e ami felírható így is l+c=e+2

Tétel:

Csak ötféle szabályos test valósítható meg

A tétel bizonyítása:

Minthogy minden él két lap oldala, ezért a lapok oldalszámát összegezve az élek számának a kétszeresét kapjuk. Szabályos testek esetén mindegyik lapnak ugyanannyi (n) oldala van ezért a lapok oldalszámának az összegezését megkapjuk,

ha az (n) oldalszámot megszorozzuk az (l) lapszámmal: ln=2e

l-t kifejezve: l=2e/n

Minthogy minden él két csúcsba fut, ezért a csúcsokba futó éleket összegezve az élek számának a kétszeresét kapjuk. Szabályos testek esetén mindegyik csúcsba ugyanannyi (m) él fut ezért a csúcsokba futó élek összegezését megkapjuk,

ha az (m) élek számát megszorozzuk a (c) csúcsok számával: cm=2e

c-t kifejezve: c=2e/m

 

Euler tétele:

l+c=e+2

l és c kifejezett értékeit behelyettesítjük:

2e/n+2e/m=e+2

Mindkét oldalt elosztjuk 2e-vel:

1/n+1/m=1/2+1/e

Az egyenlet végéről elhagyjuk az 1/e tagot ezzel az alábbi egyenlőtlenséghez jutunk:

1/n+1/m>1/2

2mn-el beszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:

2m+2n>mn

Az egyenlőtlenség baloldalát mindkét oldalból kivonjuk

0>mn-2m-2n

Képezzük (n-2) és (m-2) szorzatát:

(n-2)(m-2)=mn-2m-2n+4

Vegyük észre, hogy az egyenlet jobb oldala 4-el nagyobb, mit az egyenlőtlenségünk jobb oldala.

Ha az egyenlőtlenségük jobb oldalát kicseréljük arra, hogy (n-2)(m-2), akkor az egyenlőtlenségünk bal oldalához is hozzá kell adnunk 4-et.

4>(n-2)(m-2)

Egyenlőtlenségünk jobb oldala 1-nél kisebb nem lehet, mert sem n, sem m nem lehet 3-nál kisebb. A jobb oldal csak 1, 2, és 3 lehet.

E számok felbontásai:

1*1 2*1 1*2 3*1 1*3

Ezek a felbontások n és m számára 5 lehetőséget adnak.

 

4>(n-2)(m-2)

Tetraéder

Hexaéder

Oktaéder

Dodekaéder

Ikozaéder

n=3, m=3

(3-2)(3-2)

1*1

n=4, m=3

(4-2)(3-2)

2*1

n=3, m=4

(3-2)(4-2)

1*2

n=5, m=3

(5-2)(3-2)

3*1

n=3, m=5

(3-2)(5-2)

1*3

 

Azaz, csak ötféle szabályos test valósítható meg.           Forrás: Hajós György "Bevezetés a geometriába" Tankönyvkiadó, Budapest, 1987

 

Szalma alakú gyöngyöket vékony drótra fűzve

megalkothatjuk a szabályos testek körvonalait.

s5.jpg